Chaos, ściślej chaos deterministyczny to własność rozwiązań równań, zwykle różniczkowego nieliniowego, różnicowego nieliniowego, lub układów takich równań. Zwykle jest to nieliniowy układ dynamiczny. Polega on na niestabilności rozwiązań przy zmianie wartości warunków początkowych. Jeśli przyjąć, że równanie opisuje pewien proces w zależności od czasu to można własność chaotyczności określić jako sytuację, w której zmiana warunków początkowych o dowolnie małą wielkość wprowadza duże zmiany w rozwiązaniu dla czasów późniejszych (ściśle zmiany rosną eksponencjalnie, porównaj wykładnik Lapunowa). Ponieważ zwykle układy równań nieliniowych lub różnicowych analizuje się w związku z pewnym procesem fizycznym, chemicznym lub modelem np. informatycznym, to własność chaosu dotyczy zwykle rozwiązań równania w pewnym zakresie parametrów modelu, a nie wszystkich możliwych rozwiązań w ogóle.
Ścisłym kryterium chaotyczności jest określenie wartości wykładników Lapunowa, które dla układów chaotycznych są dodatnie (dla układów chaotycznych wielowymiarowych co najmniej jeden dodatni wykładnik Lapunowa).
Niestabilność rozwiązań równania ze względu na wartości warunków początkowych w chaosie przejawia się zwykle nieprzewidywalnymi zmianami postaci i charakteru rozwiązań wskutek zmiany warunków początkowych. Możliwe są np. przejścia od skomplikowanych rozwiązań okresowych do nieokresowych, kwaziokresowych itp. Sprawia to, że co prawda dla idealnie dokładnie zadanych warunków jesteśmy w stanie dokładnie przewidzieć zachowanie się układu, jednak w praktyce, gdzie warunki początkowe zadane są zawsze ze skończoną dokładnością, zachowanie układu jest niemożliwe do przewidzenia. Warto nadmienić, że niektóre równania czy układy liniowe posiadają rozwiązania niestabilne także w sąsiedztwie pewnych trajektorii. Tym samym niestabilność rozwiązań jest własnością słabszą, niż ich chaotyczność. Kluczową różnicą pomiędzy takimi rozwiązaniami niestabilnymi, a rozwiązaniami uważanymi za chaotyczne jest to, że wspomniana niestabilność zachodzi dla określonych warunków początkowych, np. dla specyficznie dobranej prędkości początkowej, podczas gdy w wypadku układów chaotycznych mamy do czynienia z wrażliwością rozwiązań od warunków początkowych w pewnym gęstym zbiorze tych warunków.
W celu badania własności chaosu rozwinięto wiele technik w zakresie analizy równań różniczkowych oraz wykorzystano w nowy sposób wiele istniejących narzędzi matematycznych. Zwykle bada się przestrzeń rozwiązań rozważanych równań badając ich własności w tzw. przestrzeni fazowej. W przypadku kiedy mamy do czynienia z wielowymiarową przestrzenią fazową, co zachodzi w większości sytuacji poza prostymi układami modelowymi, ważnym narzędziem są przekroje Poincare, pozwalające na badanie podprzestrzeni przestrzeni fazowej i tym samym na redukcję ilości wymiarów badanego układu. Udowodniono szereg twierdzeń, pozwalających z własności przekrojów Poincare wyprowadzać twierdzenia na temat własności pełnej przestrzeni fazowej rozwiązań. Takie działania mają szczególne znaczenie wobec szeroko rozpowszechnionego badania układów chaotycznych za pomocą symulacji numerycznych. Badanie przekrojów Poincare zamienia bowiem ciągły proces ewolucji opisywany wyjściowym układem równań różniczkowych na dyskretne odwzorowanie przekroju Poincare, co sprawia że są one szczególnie chętnie używane do obrazowania ewolucji rozwiązań chaotycznych.
Historycznie generycznym układem chaotycznym jest tzw. układ Lorenza. Jest to pierwotnie układ pięciu równań różniczkowych nieliniowych, w procesie analizy uproszczony do układu trzech równań różniczkowych nieliniowych, powstały przez analizę układu równań Naviera-Stokesa w przestrzeni Fouriera i ograniczenie rozważań do wiodących pięciu modów. Układ taki był rozważany przez Lorenza podczas próby przeprowadzania numerycznej analizy zjawisk pogodowych, opisywał własności ogrzewanej, prostokątnej komórki gazowej. Lorenz chcąc uprościć obliczenia przerwane błędem sprzętowym na pewnym etapie, zamiast przeprowadzać je od początku, wprowadził końcowe wyniki obliczeń pośrednich z momentu wystąpienia awarii, jako punkt startowy dla nowej serii symulacji. Jak zauważył pod koniec, otrzymane wyniki serii testowych w znaczny sposób odbiegały od symulacji przeprowadzonych od początku do końca, bez przerwy. Okazało się to skutkiem zaokrąglenia wprowadzanych ręcznie wyników. Równania okazały się zaskakująco czułe na niewielką zmianę warunków początkowych.
Dalsze badania fenomenu chaosu doprowadziły do wykrycia takich własności rozwiązań w bardzo wielu równaniach i modelach zjawisk fizycznych. Jednak dowiedzenie że dany, konkretny układ równań opisujący proces fizyczny jest chaotyczny dla pewnych wartości parametrów modelu jest na ogół złożonym procesem i dlatego niewłaściwe jest nazywanie chaotycznym każdego układu przejawiającego skomplikowane zachowania. Dla wielu układów po prostu tego nie wiadomo, choć oczywiście odkrycie zjawiska chaosu wzbudziło nadzieje na opisanie rozmaitych i skomplikowanych układów fizycznych.
Nie jest prawdą, jakoby turbulencja czy giełdy były przykładami układów chaotycznych. Dla pełnego układu równań Naviera-Stokesa opisujących turbulencję nie dowiedziono tego i nie widać współcześnie nadziei na taki dowód, zaś dla giełd nie znamy nawet równań różnicowych czy różniczkowych, które opisują jej zachowanie w zadowalający sposób – tym bardziej więc nie potrafimy się wypowiedzieć o chaotyczności ich rozwiązań.
Teoria chaosu
Odpowiedź z Cytatem
Copyright © 2006-2024 - HACK.pl. Wszelkie prawa zastrzeżone.